Chapter 1-3) Fermi Energy Level
※시작에 앞서, 학업을 위해 정리해 놓은 내용들이므로 틀린 부분이 있을 수 있다.
1. Thermal Equilibrium
2. Fermi-Dirac distribution
3. Equilibrium Distribution of Carriers
4. Intrinsic 상태일 때
1. Thermal Equilibrium
이번 포스팅에서는 Fermi Energy Level에 관련된 내용을 포스팅 하고자 한다.
먼저 Thermal Equilibrium, 열평형 상태에 대한 내용이다.
열평혀 상태는 다음과 같은 상태를 말한다.
- electric field = 0
- magnetic field = 0
- mechanical stress = 0
2. Fermi-Dirac distribution
Fermi Energy는 어떤 energy level에 전자가 있을 확률을 말한다. Fermi energy(level)은 다음과 같이 표현된다.
Fermi level은 하나의 시스템에서 단 하나만 존재한다. (매우 중요한 사실)
Fermi energy는 온도에 따라 변하게 되는데, 다음 그래프를 살펴보자.
온도가 올라갈수록 전자가 Conduction band에 존재할 확률이 커지기 때문에, 당연히 Energy는 높아지고 그래프 자체도 넓게 분포하게 된다.
그러면 T = 0K 일때 Fermi level은 어떻게 될까?
이렇게, 그래프로 나타낼 수 있다.
다음은 우리가 수학적으로 조금 더 쉽게 문제를 해결하기 위해 적용할 Boltzman Approximation에 대해 알아보고자 한다.
다음과 같이 두 경우가 있다.
여기서 Boltzman Approximation을 사용하면 다음과 같다.
이 식에서 E - E_f가 매우 클 경우, 1에 의한 영향은 매우 근소하기에 1을 지워도 무방하다. 1을 지운 f(E)는 다음과 같다.
이제는 E - E_f < 3KT인 경우에 대해서 알아보자.
위와 같이 똑같이 Boltzman Approximation을 적용하면 다음과 같다.
비교를 해보자.
그림 (a)같은 경우는 f(E)로 전자가 존재할 확률을 Boltzman Approximation을 통해 구했다.
그림 (b)를 보면 1 - f(E)가 있는데, 이 말은 즉, 전자가 존재할 확률을 빼준, 즉 정공(hole)이 존재할 확률에 대해서 구한 내용이다.
다음 그래프를 보자.
E_f에서 3KT 이상인 부분은 conduction band가 되고
E_f에서 3KT 이하인 부분은 valence band가 된다.
3. Equilibrium Distribution of Carriers
평형 상태에서의 캐리어 분포에 대해서 알아보자.
우선 시작하기 전에 Density of state에 대해서 알아보면, 너무 깊숙한 내용이기에 간단한 내용만 언급하고자 한다.
에너지 준위구간에서 어느 정도의 전자가 채워지는지에 대해 표현한 함수를 상태 밀도 함수라고 한다.
Conduction band, Valence band 근처의 DOS(Density of state) 함수는 다음과 같다.(알아두기만 하면 될 것 같다.)
이제 평형 상태에서의 캐리어 농도를 구하고자 한다.
이번에도 Boltzman Approximation을 적용한다. 이 과정을 따라가면 우리는 평형 상태에서의 전자와 정공의 농도를 구할 수 있다.
여기서 N_c 와 N_v의 값은 다음과 같다.
각 값은 인터넷에 검색하면 값이 나오니 참고해서 사용하면 되겠다!
4. Intrinsic 상태일 때
chapter 1-2)에서 진성 반도체 (Intrinsic semiconductor)에서 np = n_i^2에 대해서 알아보았었다.
이 식에 위에서 구한 전자와 정공의 농도를 대입하여 구해주면 다음과 같은 결과가 도출된다.
그러면 Intrinsic Fermi level은 어떻게 될까?
우선 E_i를 intrinsic 상태에서의 fermi level이라고 하자.
n = p이기 때문에 이 식에 농도 식을 그대로 대입해 주면
이와 같은 결과가 나오고, 최종적으로 우리는 intrinsic 상태의 n, p 농도를 구할 수 있다.
우리는 이 식을 통해서 intrinsic fermi level을 쉽게 구할 수 있게 된다.
하지만 이 식은 열평형 상태란 조건을 가정했기에 모든 상황에서 사용할 수는 없다!
다음 포스팅에서는 해당 챕터의 연속된 내용인 온도에 따른 캐리어 농도에 대해서 다루어 보고자 한다.